Iterativ metode til opnåelse Nøjagtige Solutions i Løsning lineære ligninger

Lineær ligning består af simple variabler som x og y eller hvilket som helst bogstav i alfabetet, sammen med lighedstegn og udtryk. Hver variabel kan enten være en konstant eller et produkt af et konstant

Overvejelser om brug variabler:.
Bør ikke bestå af eksponenter; x2
Bør ikke ganges eller divideres med hinanden; 3xy + 4.
Bør ikke findes under en kvadratrod tegn.

, lineære udtryk er således en erklæring anvendes til at udføre bestemte funktioner i tilføje, subtraktion, multiplikation og dividere tal. Disse matematiske komponenter kan generere en ligning, såsom X + 3; 2x + 5; 3x + 5-årige.

Grundlæggende oplysninger er nyttig til at løse ligninger. En almindelig form ligningen;

For at finde værdien af ​​x, lad x være lig med 1. Begge parter skal være lig med 5, således at forblive at være sandt. Den skal have både ét korrekt svar. Til afbalancering af ligningen, skal begge parter bruge et lighedstegn. Vilkår føjes til den ene side, bør også tilføjet til den anden side. Dette svarer i gange og dividere begge sider af ligningen.

Den iterative fremgangsmåde bliver brugt til at løse et problem ved at finde den eksakte løsning, basere fra et indledende gæt. Den grundlæggende idé gentager et sæt af trin, som vil generere en omtrentlig endelige svar. Det kontraster direkte metoder, som har til formål at løse problemer via en begrænset sekvens af operationer.

Den iterative metode er nyttig til at løse lineære ligninger, der indebærer et stort antal variabler. Den iterative metode afhænger af de pre-balsam for at forbedre sine præstationer. Pre-conditioners er transformationen matrix, som sikrer en hurtig konvergens i at overvinde ekstra omkostninger for dets konstruktion. Uden den, kan metoden ikke konvergere

De to vigtigste klasser af iterative metoder er:..
Stationær Iterativ Metode
og den ikke-stationære Metode
Stationær Iterativ metode kan udføre den samme operation af iteration på aktuelle vektorer. Det løser et lineært system med brug af en operatør (en funktion, der opererer på en anden funktion).

Den danner en korrektion ligning baseret på målefejlen, gentage processen helt. Den stationære metode er enkel at implementere og analysere, men dens konvergens kan begrænses til en klasse af matricer (matematiske tabeller). Det fungerer godt med sparsomme matricer (en matrix befolket primært med nuller), som er nemme at parallelize.

Stationær Iterativ metode er en af ​​de ældste metoder. Det er nemt at forstå, selvom det ikke er så effektive. To eksempler på denne metode vil omfatte:
Jacobi Metode
og Gauss-Seidel Metode

Den såkaldte Jacobi metode betragtes som en algoritme (sekvens af finite vejledning), der bestemmer løsningen i hver række og kolonne, der har den største absolutte værdi. Det løser hver diagonal element, og stik i en tilnærmet værdi. Processen gentages, men konvergens er stadig langsom. Det kaldes efter Carl Gustav Jakob Jacobi, en tysk matematiker.

På den anden side blev det Gauss-Seidel metode opkaldt efter Carl Friedrich Gauss og Philipp Ludwig von Seidel. Det er en forbedret version af Jacobi. Hvis Jacobi konvergerer, Gauss-Seidel konvergerer hurtigere. Fremgangsmåden kan defineres diagonalt på matricer med ikke-nul-værdier. Således Konvergens stadig garanterer, at matricen kan være diagonalt dominerende og definitivt positiv.

Ikke-stationære vedrører den seneste udvikling i vores moderne matematik. Det er sværere at forstå, men det er yderst effektiv. Ikke-stationære er baseret på sekventielle ortogonale vektorer, som primært afhænger af iteration koefficient. Således er det også går med beregningerne involverer data ændres ved hvert trin i iteration

Her er nogle af de metode typer, der anvendes:.
Konjugat Gradient Metode
MINRES og SYMMLQ
CG på Normal ligninger
Generaliseret Minimal Residual
BiConjugate Gradient
Quasi Minimal Residual
konjugat Gradient Square Metode
BiConjugate Gradient Stabiliseret
Chebyshev Iteration
.