Introduktion til Logistisk regression

Forskerne er ofte interesseret i at oprette en model til at analysere forholdet mellem nogle prædiktorer (dvs. uafhængige variable) og en respons (dvs. afhængige variabel). Lineær regression er almindeligt anvendt, når responsvariabel er kontinuerlig. Én antagelse af lineære modeller er, at de resterende fejl følger en normalfordeling. Denne antagelse mislykkes, når den variable respons er kategorisk, så en almindelig lineær model er ikke hensigtsmæssig. Dette nyhedsbrev præsenterer en regressionsmodel på et svar variabel, der er dikotome have to kategorier. Eksempler er almindelige: om en plante lever eller dør, hvorvidt en undersøgelse respondent er enig eller uenig i en erklæring, eller om en i risikogruppen barn kandidater eller falder ud fra gymnasiet

I almindelig lineær regression, svaret. variabel (Y) er en lineær funktion af koefficienterne (B0, B1, etc.), der svarer til forudsigelsesvariable (X1, X2, etc.). En typisk model vil se ud:

Y = B0 + B1 * X1 + B2 * X2 + B3 * X3 + ... + E

For en dikotomisk variabel reaktion, vi kunne oprette en lignende lineær model til at forudsige den enkeltes kategori medlemskaber, hvis der anvendes numeriske værdier til at repræsentere de to kategorier. Vilkårlige værdier på 1 og 0 er valgt til matematisk bekvemmelighed. Brug det første eksempel, ville vi tildele Y = 1, hvis et anlæg bor og Y = 0, hvis en plante dør.

Denne lineære model fungerer ikke godt for et par grunde. Først responsværdierne, 0 og 1, er vilkårlige, så modellering aktuelle værdier Y er ikke nøjagtigt af interesse. For det andet, er det virkelig sandsynligheden for, at den enkelte i befolkningen reagerer med 0 eller 1, at vi er interesseret i modellering. For eksempel kan vi opleve, at planter med et højt niveau af en svampeinfektion (X1) falder ind under kategorien "planten lever" (Y) sjældnere end de planter med lavt niveau af infektion. Således som niveauet af infektion stiger, sandsynligheden for en plante levende falder.

Således har vi overveje modellering P er sandsynligheden, som responsvariabel. Igen er der problemer. Selv om den generelle fald i sandsynligheden er ledsaget af en generel stigning i infektionsniveauet ved vi, at P, som alle sandsynligheder kan kun falde inden for grænserne af 0 og 1. Følgelig er det bedre at antage, at forholdet mellem X1 og P er formet (S-formet), snarere end en lige linje.

Det er imidlertid muligt at finde et lineært forhold mellem X1 og en funktion af P. Selv om en række funktioner fungerer, en af ​​de mest nyttig er logit-funktionen. Det er den naturlige logaritme af oddsene at Y er lig med 1, som simpelthen er forholdet mellem sandsynligheden for, at Y er 1 divideret med sandsynligheden for, at Y er 0 Forholdet mellem logit af P og P selv er formet i form . Regressionsligningen der resulterer er:

ln [P /(1-P)] = B0 + B1 * X1 + B2 * X2 + ...

Selvom den venstre side af denne ligning ser truende, på denne måde at udtrykke sandsynlighed resulterer i højre side af ligningen er lineær og leder velkendt for os. Dette hjælper os med at forstå betydningen af ​​regressionskoefficienterne. Koefficienterne kan nemt omdannes, så deres fortolkning giver mening.

Den logistiske regressionsligning kan forlænges ud over tilfælde af en dikotomisk respons variabel til de tilfælde af bestilte kategorier og polytymous kategorier (mere end to kategorier).
.